Question

下圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實數(shù)m對應數(shù)軸上的點M（點A對應實數(shù)0，點B對應實數(shù)1），如圖①；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖②；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），在圖形變化過程中，圖①中線段AM的長度對應于圖③中的弧ADM的長度，如圖③，圖③中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．
給出下列命題：①f（

1

4

）=1；
②f（

1

2

）=0；
③f（x）是奇函數(shù)；
④f（x）在定義域上單調(diào)遞增，
則所有真命題的序號是（　�。�

• A、①②
• B、②③
• C、①④
• D、②④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題中對映射運算描述，對四個命題逐一判斷其真?zhèn)危?br />①m=

1

4

此時M恰好處在左半圓弧的中點上，求出直線AM的方程后易得N的橫坐標；
②當m=

1

2

時，對應的點在點A的正下方，即可求出n；
③可由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱來確定正誤；
④可由圖3，由M的運動規(guī)律觀察出函數(shù)值的變化，得出單調(diào)性．

解答： 解：如圖，因為M在以（1，1-

1

2π

）為圓心，

1

2π

為半徑的圓上運動，
對于①當m=

1

4

時．M的坐標為（-

1

2π

，1-

1

2π

），
直線AM方程y=x+1，所以點N的坐標為（-1，0），
故f（

1

4

）=-1，則①錯；
對于②，當m=

1

2

時，對應的點在點A的正下方，
此時點N（0，0），所以f（

1

2

）=0，則②對；
對于③，因為實數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關(guān)于原點對稱，所以f（x）不存在奇偶性．則③錯；
對于④，當實數(shù)m越來越大時，
如圖直線AM與x軸的交點N（n，0）也越來越往右，
即n也越來越大，所以f（x）在定義域上單調(diào)遞增，則④對．
其中正確的為②④．
故選D．

點評：本題考查映射的概念，解答本題關(guān)鍵是理解題設中所給的對應關(guān)系，正確認識三個圖象的意義，由此對四個命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數(shù)于形，是一個考查理解能力的題，對題設中所給的關(guān)系進行探究，方可得出正確答案，本題易因為理解不了題意而導致無法下手，題目較抽象．