Question

16．已知S_n是公差不為0 的等差數(shù)列{a_n}的前n 項和，S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，且${a_3}=-\frac{5}{2}$，
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{（2n+1）{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n 項和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），運用等比數(shù)列的中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得d=-1，a₁=-$\frac{1}{2}$，可得a_n=-$\frac{2n-1}{2}$；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{（2n+1）{a}_{n}}$=-$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=-（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡即可得到所求和．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，且${a_3}=-\frac{5}{2}$，
可得S₂²=S₁S₄，a₁+2d=-$\frac{5}{2}$，
即有（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），
化為d=2a₁，解得d=-1，a₁=-$\frac{1}{2}$，
可得a_n=a₁+（n-1）d=-$\frac{1}{2}$-（n-1）=-$\frac{2n-1}{2}$；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{（2n+1）{a_n}}}$=-$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=-（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
則前n項和T_n=-（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=-（1-$\frac{1}{2n+1}$）=-$\frac{2n}{2n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．