Question

1．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+2bx+c（c＞b＞a），其圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），且與直線y=-a有交點(diǎn)．
（1）求證：$0≤\frac{a}＜1$；
（2）若直線y=-a與函數(shù)y=|f（x）|的圖象從左到右依次交于A，B，C，D四點(diǎn)，若線段AB，BC，CD能構(gòu)成鈍角三角形，求$\frac{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）的其圖象與直線y=-a有交點(diǎn)，得到ax²+2bx+c+a=0有實(shí)根，根據(jù)判別式即可求出答案，
（2）點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)|AB|=|CD|=m，|BC|=n，根據(jù)線段AB，BC，CD能構(gòu)成鈍角三角形，得到m，n的關(guān)系，再設(shè)x₁，x₂是方程ax²+2bx+c+a=0的兩根和x₃，x₄是方程ax²+2bx+c-a=0的兩根，代入計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵a+2b+c=0，c＞b＞a，
∴a＜0，c＞0，
∵-a-2b＞b＞a，
∴-$\frac{1}{3}$＜$\frac{a}$＜1，
∵函數(shù)f（x）的其圖象與直線y=-a有交點(diǎn)，
∴ax²+2bx+c+a=0有實(shí)根，即
△=4b²-4a（c+a）=4b²+8ab≥0，
∴4（$\frac{a}$）²+8•$\frac{a}$≥0，知$\frac{a}$≤-2或$\frac{a}$≥0，
綜上所述可得0≤$\frac{a}$＜1，
（2）∵點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
設(shè)|AB|=|CD|=m，|BC|=n，
∵線段AB，BC，CD能構(gòu)成鈍角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+m＞n}\\{{m}^{2}+{m}^{2}＜{n}^{2}}\end{array}\right.$，得n＜2m＜$\sqrt{2}$n，
∴2n＜2m+n＜（$\sqrt{2}$+1）n，
∴2|BC|＜|AD|＜（$\sqrt{2}$+1）|BC|，
設(shè)x₁，x₂是方程ax²+2bx+c+a=0的兩根，
則|BC|=$\sqrt{4（\frac{a}）^{2}+8•\frac{a}}$，
設(shè)x₃，x₄是方程ax²+2bx+c-a=0的兩根，
則|AD|=$\sqrt{4（\frac{a}）^{2}+8•\frac{a}+8}$，
∴2$\sqrt{4（\frac{a}）^{2}+8•\frac{a}}$＜$\sqrt{4（\frac{a}）^{2}+8•\frac{a}+8}$＜（$\sqrt{2}$+1）$\sqrt{4（\frac{a}）^{2}+8•\frac{a}}$，
解得-1+$\root{4}{2}$＜$\frac{a}$＜-1+$\frac{\sqrt{15}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線y=-a和曲線f（x）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和方程f（x）=-a解的關(guān)系，求根公式求一元二次方程的根，三條線段構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊，分類(lèi)討論的方法，以及結(jié)合圖形解題的方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．