Question

已知函數(shù)f（x）=1-2sin（x+

π

8

）[sin（x+

π

8

）-cos（x+

π

8

）]
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

2

，

π

12

]，求函數(shù)f（x+

π

8

）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先通過三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用余弦函數(shù)的最小正周期公式求出結(jié)果．
（Ⅱ）直接利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)關(guān)系式的值域．

解答： 解：（I）函數(shù)f（x）=1-2sin（x+

π

8

）[sin（x+

π

8

）-cos（x+

π

8

）]
=1-2sin2(x+

π

8

)+2sin(x+

π

8

)cos(x+

π

8

)
=cos(2x+

π

4

)+sin(2x+

π

4

)
=

2

sin(2x+

π

2

)
=

2

cos2x…（5分）
所以，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）由（I）可知f(x+

π

8

)=

2

cos(2x+

π

4

)．…（9分）
由于x∈[-

π

2

，

π

12

]，
所以：2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

5π

12

]，…（11分）
所以：cos(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]，
則：f(x+

π

8

)∈[-1，

2

]，
f(x+

π

8

)的值域?yàn)閇-1，

2

]，…（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，余弦型函數(shù)的周期的求法，利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．