Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AC交BD于點(diǎn)O，PD=PC=$\sqrt{2}$，PB=2，M為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥平面AMC；
（2）求二面角M-BD-C平面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OM，推導(dǎo)出BD⊥AC，BD⊥OM，由此能證明BD⊥平面AMC．
（2）由MO⊥BD，CO⊥BD，得∠MOC是二面角M-BD-C的平面角，由此能求出二面角M-BD-C平面角．

解答 證明：（1）連結(jié)OM，
∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AC交BD于點(diǎn)O，
PD=PC=$\sqrt{2}$，PB=2，M為PB的中點(diǎn)，
∴BD⊥AC，且O是BD中點(diǎn)，∴OM∥PD，
BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴BD²+PD²=PB²，∴BD⊥PD，∴BD⊥OM，
∵AC∩OM=O，∴BD⊥平面AMC，
解：（2）∵M(jìn)O⊥BD，CO⊥BD，
∴∠MOC是二面角M-BD-C的平面角，
∵M(jìn)為PB的中點(diǎn)，O是BD中點(diǎn)，∴MO=$\frac{1}{2}PD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
CO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{1+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
cos∠PBC=$\frac{P{B}^{2}+B{C}^{2}-P{C}^{2}}{2×PB×BC}$=$\frac{B{M}^{2}+B{C}^{2}-M{C}^{2}}{2×BM×BC}$，
∴$\frac{4+1-2}{2×2×1}$=$\frac{1+1-M{C}^{2}}{2×1×1}$，解得MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴MO=CO=MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠MOC=60°，
∴二面角M-BD-C平面角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的平面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．