Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：（a＞b＞0）的焦距為2．

（1）若橢圓C經過點（，1），求橢圓C的標準方程；

（2）設A（﹣2，0），F為橢圓C的左焦點，若橢圓C上存在點P，滿足，求橢圓C的離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）由題意得，代入已知點，可得，的方程，解方程即可得到所求的橢圓方程；（2）設，運用兩點的距離公式，化簡整理，即可得到點的軌跡方程，由題意和圓相交的條件，結合離心率公式，即可得到所求范圍.

試題解析：（1）由題設，橢圓的焦距，即，

所以，

因為橢圓經過點，所以，即，

化簡、整理得，解得（負值已舍去）.

故求橢圓的標準方程為.

（2）易知，設，于是.①

因為，即，

所以，即.②

聯立①②，并注意到，解得.

因為，所以.

于是，即，亦即.

所以，即.

故橢圓的離心率的取值范圍是.