Question

【題目】已知函數，且.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，求證：函數有且只有一個零點.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）通過導函數當和時的正負來確定原函數的增減區(qū)間；

(2) 通過證明函數單調并且猜出函數的一個根，從而證明函數有且只有一個零點.

試題解析：

（1），，

當時，，則在上單調遞增；

當時，由得，由得，

即在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.

（2）證明：由已知得，則，

設，則 ，

故為上的增函數，

又由于，因此且有唯一零點1，

當時，；當時，.

在上為減函數，在上為增函數，

函數有且只有一個零點.

點晴:本題主要考查導數在解決函數中的應用. 解答此類問題，應該首先確定函數的定義域，否則，寫出的單調區(qū)間易出錯. 解決含參數問題及不等式問題注意兩個轉化：(1)利用導數解決含有參數的單調性問題可將問題轉化為含參不等式的求解問題，要注意分類討論和數形結合思想的應用．(2)函數有且只有一個零點通常是證明函數單調并且猜出函數的一個根，從而證明函數有且只有一個零點.