Question

18．已知數列{a_n}的前n項和是Sn，且Sn=2a_n-1 （n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂ a_n，求數列（-1）ⁿb_n²前2n項的和T．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據數列的遞推公式即可求出數列{a_n}是以1為首項，以2為公比的等比數列，
（Ⅱ）b_n=log₂ a_n=n-1，得到數列{b_n}是以首項為0，公差為1的等差數列，即可求出數列（-1）ⁿb_n²前2n項的和T

解答 解：（Ⅰ）∵s_n=2a_n-1，
∴當n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁=1，
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴數列{a_n}是以1為首項，以2為公比的等比數列，
∴a_n=2^n-1．
當n=1時，也成立，
∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）b_n=log₂ a_n=n-1，
∴于是數列{b_n}是以首項為0，公差為1的等差數列，
∴（-1）ⁿb_n²=（-1）ⁿ（n-1）²，
∴T=-b₁²+b₂²-b₃²+b₄²+…-b_2n-1²+b_2n²=b₁+b₂+b₃+…+b_2n-1+b_2n=$\frac{2n•（2n-1）}{2}$=n（2n-1）．

點評 本題考查了數列的遞推公式和數列的通項公式和前n項和公式，屬于中檔題