Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的半焦距為c（c＞0），左焦點為F，右頂點為A，拋物線y2=

15

8

(a+c)x與橢圓交于B、C兩點，若四邊形ABFC是菱形，則橢圓的離心率是（　�。�

• A、

  8

  15

• B、

  4

  15

• C、

  2

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓方程求出F和A的坐標(biāo)，由對稱性設(shè)出B、C的坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求出B的縱坐標(biāo)，將點B的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡整理得到關(guān)于橢圓離心率e的方程，即可得到該橢圓的離心率．

解答： 解：由題意得，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0，c為半焦距）
的左焦點為F，右頂點為A，
則A（a，0），F(xiàn)（-c，0），
∵拋物線y²=

15

8

（a+c）x于橢圓交于B，C兩點，
∴B、C兩點關(guān)于x軸對稱，可設(shè)B（m，n），C（m，-n）
∵四邊形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a-c，則m=

1

2

（a-c），
將B（m，n）代入拋物線方程得，
n²=

15

8

（a+c）m=

15

16

（a+c）（a-c）=

15

16

（a²-c²），
∴n²=

15

16

b²，則不妨設(shè)B（

1

2

（a-c），

15

4

b），再代入橢圓方程得，

1

4

•

(a-c)2

a2

+

15b2

16b2

=1，
化簡得

(a-c)2

4a2

=

1

16

，由e=

c

a

，即有4e²-8e+3=0，解得e=

1

2

或

3

2

（舍去）．
故選D．

點評：本題考查橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，主要考查了橢圓的離心率e，屬于中檔題．