Question

無窮數(shù)列{

1

3n

sin

nπ

2

}前n項(xiàng)和的極限為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：n=1時(shí)，a₁=

1

3

；n=2時(shí)，a₂=0；n=3時(shí)，-

1

33

；n=4時(shí)，a₄=0；n=5時(shí)，a5=

1

35

，…，可得n為偶數(shù)時(shí)，a_n=0；n為奇數(shù)時(shí)，a_n=

(-1) n+3 2

3n

．可得其極限．

解答： 解：n=1時(shí)，a₁=

1

3

；n=2時(shí)，a₂=0；n=3時(shí)，a₃=-

1

33

；n=4時(shí)，a₄=0；n=5時(shí)，a5=

1

35

，…，
可得n為偶數(shù)時(shí)，a_n=0；n為奇數(shù)時(shí)，a_n=

(-1) n+3 2

3n

．
利用無窮等比數(shù)列數(shù)列前n項(xiàng)和的極限=

a1

1-q

（q為等比數(shù)列{a_n}的公比，0＜|q|＜1，或q=-1）．
∴無窮數(shù)列{

1

3n

sin

nπ

2

}前n項(xiàng)和的極限=

1 3

1-(- 1 9 )

=

3

10

．
故答案為：

3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的周期性、無窮等比數(shù)列的}前n項(xiàng)和的極限，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．