【題目】如圖,在四棱錐中,交于點(diǎn),,,.

(Ⅰ)在線段上找一點(diǎn),使得平面,并證明你的結(jié)論;

(Ⅱ)若,,,求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).

【解析】

I)取線段上靠近的三等分點(diǎn),連接,因?yàn)?/span>,,所以,由,得,所以,即可證明結(jié)論成立.

II)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線分別為軸,過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量為,平面的個(gè)法向量為,由向量法即可求出二面角的平面角.

I)取線段上靠近的三等分點(diǎn),連接.因?yàn)?/span>,,所以,所以.而,所以,所以.而平面.平面,故平面.

II)易知 為等邊三角形,所以.又,故,所以有.由已知可得,又,所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線分別為軸,過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè),則,所以,,,,則,,.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則有

設(shè),則,所以.

設(shè)平面的個(gè)法向量為,則有

,則,所以.

所以.

因?yàn)槎娼?/span>為銳角,故所求二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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我身邊的榜樣評(píng)選選票

候選人

符號(hào)

注:

1.同意畫“○”,不同意畫“×”

2每張選票“○”的個(gè)數(shù)不超過(guò)2時(shí)才為有效票

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