Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性.

（Ⅱ）若時，存在兩個正實數(shù)滿足，求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（I）對 求導(dǎo)，得，令，對，，進行分類討論，得的單調(diào)性即可；

（II）存在兩個正數(shù)m，n使得成立，轉(zhuǎn)化為，令對求導(dǎo)，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以在取得最小值為 ，得出，計算即可得出結(jié)論.

（I）依題意，可知

對于函數(shù)，

當(dāng)，即時，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增.

當(dāng)，即時，函數(shù)有兩個零點，且，其中

若，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，

當(dāng)時，，

若，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，.

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（II） 當(dāng)a=4時，存在兩個正數(shù)m，n使得成立，則，所以，

即

令

則

當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

所以函數(shù)在取得最小值，最小值為.

所以，即，解得或

因為，所以.