【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性.
(Ⅱ)若時,存在兩個正實數(shù)滿足,求證:
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析.
【解析】
(I)對 求導(dǎo),得,令,對,,進行分類討論,得的單調(diào)性即可;
(II)存在兩個正數(shù)m,n使得成立,轉(zhuǎn)化為,令對求導(dǎo),得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;所以在取得最小值為 ,得出,計算即可得出結(jié)論.
(I)依題意,可知
對于函數(shù),
當(dāng),即時,此時函數(shù)在上單調(diào)遞增.
當(dāng),即時,函數(shù)有兩個零點,且,其中
若,則,當(dāng)時,;當(dāng)時,
當(dāng)時,,
若,則,當(dāng)時,;當(dāng)時,.
綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(II) 當(dāng)a=4時,存在兩個正數(shù)m,n使得成立,則,所以,
即
令
則
當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;
所以函數(shù)在取得最小值,最小值為.
所以,即,解得或
因為,所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分別為,AC,,的中點,AB=BC=,AC==2.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)證明:直線FG與平面BCD相交.
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【題目】設(shè)p:f(x)=1+ax,在(0,2]上f(x)≥0恒成立,q函數(shù)g(x)=ax+2lnx在其定義域上存在極值.
(1)若p為真命題,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)如果“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的焦距為,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知,是否存在使得點關(guān)于的對稱點(不同于點)在橢圓上?若存在求出此時直線的方程,若不存在說明理由.
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【題目】如圖,,分別是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條東西和南北走向的街道,連接M,N兩地間的鐵路是圓心在上的一段圓。酎cM在點O正北方向,且,點N到,的距離分別為5km和4km.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求鐵路路線所在圓弧的方程.
(2)若該城市的某中學(xué)擬在點O正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問題,要求校址到點O的距離大于4km,并且鐵路上任意一點到校址的距離不能小于km,求該校址距點O的最近距離.
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【題目】進入21世紀(jì),互聯(lián)網(wǎng)和通訊技術(shù)高速發(fā)展使商務(wù)進入一個全新的階段,網(wǎng)上購物這一方便、快捷的購物形式已經(jīng)被越來越多的人所接受某互聯(lián)網(wǎng)公司為進一步了解大學(xué)生的網(wǎng)上購物的情況,對大學(xué)生的消費金額進行了調(diào)查研究,得到如下統(tǒng)計表:
組數(shù) | 消費金額元 | 人數(shù) | 頻率 |
第一組 | 1100 | ||
第二組 | 3900 | ||
第三組 | 3000 | p | |
第四組 | 1200 | ||
第五組 | 不低于200元 | m |
求m,p的值;
該公司從參與調(diào)查且購物滿150元的學(xué)生中采用分層抽樣的方法抽取作為中獎用戶,再隨機抽取中獎用戶的獲得一等獎求第五組至少1人獲得一等獎的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓經(jīng)過點,且點到橢圓的兩焦點的距離之和為.
(l)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是橢圓上的兩個點,線段的中垂線的斜率為且直線與交于點,為坐標(biāo)原點,求證:三點共線.
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