Question

曲線C是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，已知它的一個(gè)焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），一條漸近線的方程為y=

3

x，過(guò)焦點(diǎn)F作直線交曲線C的右支與P、Q兩點(diǎn)，R是弦PQ的中點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線C右支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)R到y(tǒng)軸距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)雙曲線方程，求出漸近線方程，由題意可得c=2，a，b的關(guān)系，再由a，b，c的關(guān)系式，解得a，b，即可得到雙曲線方程；
（2）設(shè)出直線PQ的方程，注意斜率不存在的情況，聯(lián)立雙曲線方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得R的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，求得范圍，即可得到最小值．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
漸近線方程為y=±

b

a

x，
則由題意可得，c=2，

b

a

=

3

，
又a²+b²=c²，解得，a=1，b=

3

，
則雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1；
（2）設(shè)過(guò)F的直線l為y=k（x-2），或x=2，
當(dāng)l：x=2，則弦PQ的中點(diǎn)為F，
即有點(diǎn)R到y(tǒng)軸距離為2；
當(dāng)l：y=k（x-2），聯(lián)立雙曲線方程，可得，
（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（m，n），
且P，Q均在右支上，
則x₁+x₂=

-4k2

3-k2

＞0，x₁x₂=

-4k2-3

3-k2

＞0，
即有k²＞3，
又R為PQ的中點(diǎn)，則2m=

-4k2

3-k2

=4+

12

k2-3

＞4，
即有m＞2，
則點(diǎn)R到y(tǒng)軸距離的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．