Question

6．已知定義：在數列{a_n}中，若a${\;}_{n}^{2}$-a${\;}_{n-1}^{2}$=p（n≥2，n∈N^*，p為常數），則稱數列{a_n}為等方差數列，下列判斷：
①若{a_n}是“等方差數列”，則數列{a_n²}是等差數列；
②{（-1）ⁿ}是“等方差數列”；
③若{a_n}是“等方差數列”，則數列{a_kn}（k∈N^*，k為常數）不可能還是“等方差數列”；
④若{a_n}既是“等方差數列”，又是等差數列，則該數列是常數列．
其中正確的結論是①②④．（寫出所有正確結論的編號）

Answer 1

分析 利用“等方差數列”與“等差數列”的定義及其性質即可判斷出結論．

解答 解：①{a_n}是“等方差數列”，∴a${\;}_{n}^{2}$-a${\;}_{n-1}^{2}$=p（n≥2，n∈N^*，p為常數），則數列{a_n²}是等差數列，正確；
②∵a_n=（-1）ⁿ，∴${a}_{n}^{2}$=1，則n≥2時，a${\;}_{n}^{2}$-a${\;}_{n-1}^{2}$，=0，∴數列{a_n}為等方差數列，正確；
③{a_n}是“等方差數列”，則數列{a_kn}（k∈N^*，k為常數）可能還是“等方差數列”，取a_n=2滿足條件，因此不正確；
④若{a_n}既是“等方差數列”，又是等差數列，設公差為d，∴n≥2時，a${\;}_{n}^{2}$-a${\;}_{n-1}^{2}$=$[{a}_{1}+（n-1）d]^{2}$$-[{a}_{1}+（n-2）d]^{2}$=d[2a₁+（2n-3）d]為常數，必然d=0，
則該數列是常數列，正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其性質、新定義、“等方差數列”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．