Question

7．給出下列四個命題：
①函數(shù)y=|x|與函數(shù)y=（$\sqrt{x}$）²表示同一個函數(shù)；
②奇函數(shù)的圖象一定通過直角坐標系的原點；
③若函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，則函數(shù)f（2x）的定義域為[0，4]；
④設函數(shù)f（x）是在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)的函數(shù)，且f（a）•f（b）＜0，則方程f（x）=0在區(qū)間[a，b]上至少有一實根；
其中正確命題的序號是④（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)，①錯誤；②舉反例如函數(shù)y=$\frac{1}{x}$，②錯誤；③求函數(shù)f（2x）的定義域可判斷③錯誤；④由根的存在性定理可判斷錯誤．

解答 解：①函數(shù)y=|x|的定義域為R，函數(shù)y=（$\sqrt{x}$）²定義域為[0，+∞），兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)，①錯誤
②函數(shù)y=$\frac{1}{x}$為奇函數(shù)，但其圖象不過坐標原點，②錯誤
③∵函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，要使函數(shù)f（2x）有意義，需0≤2x≤2，即x∈[0，1]，故函數(shù)f（2x）的定義域為[0，1]，錯誤；
④函數(shù)f（x）是在區(qū)間[a．b]上圖象連續(xù)的函數(shù)，f（a）•f（b）＜0，則方程f（x）=0在區(qū)間[a，b]上至少有一實根，④正確．
故答案為④．

點評 本題綜合考查了函數(shù)的概念，函數(shù)的三要素，函數(shù)的奇偶性及其圖象，函數(shù)圖象的平移變換，抽象函數(shù)的定義域求法，根的存在性定理．