Question

一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P，如果：將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)P有下列四個(gè)命題：
①正四棱錐的高等于正四棱柱的高的一半；
②若往容器內(nèi)再注a升水，則容器恰好能裝滿；
③將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好經(jīng)過點(diǎn)P；
④任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)P．
其中正確命題的序號(hào)為

 

（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)圖（1）水的高度為h₂，幾何體的高為h₁，由已知得h₁=

5

3

h₂；當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點(diǎn)；當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí)，水的體積為

25

36

b₂h₂＞

2

3

b₂h₂．由此能求出正確命題．

解答： 解：設(shè)圖（1）水的高度為h₂，幾何體的高為h₁，
圖（2）中水的體積為b₂h₁-b₂h₂=b₂（h₁-h₂），
所以

2

3

b₂h₂=b₂（h₁-h₂），
所以h₁=

5

3

h₂，故②正確．
當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，
又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點(diǎn)，
故①錯(cuò)誤，③正確．
假設(shè)④正確，當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí)，
經(jīng)計(jì)算得水的體積為

25

36

b₂h₂＞

2

3

b₂h₂，矛盾，故④不正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．