Question

一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內盛有a升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P，如果：將容器倒置，水面也恰好過點P有下列四個命題：
①正四棱錐的高等于正四棱柱的高的一半；
②若往容器內再注a升水，則容器恰好能裝滿；
③將容器側面水平放置時，水面恰好經(jīng)過點P；
④任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點P．
其中正確命題的序號為

 

（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：設圖（1）水的高度為h₂，幾何體的高為h₁，由已知得h₁=

5

3

h₂；當容器側面水平放置時，P點在長方體中截面上，又水占容器內空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點；當水面與正四棱錐的一個側面重合時，水的體積為

25

36

b₂h₂＞

2

3

b₂h₂．由此能求出正確命題．

解答： 解：設圖（1）水的高度為h₂，幾何體的高為h₁，
圖（2）中水的體積為b₂h₁-b₂h₂=b₂（h₁-h₂），
所以

2

3

b₂h₂=b₂（h₁-h₂），
所以h₁=

5

3

h₂，故②正確．
當容器側面水平放置時，P點在長方體中截面上，
又水占容器內空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點，
故①錯誤，③正確．
假設④正確，當水面與正四棱錐的一個側面重合時，
經(jīng)計算得水的體積為

25

36

b₂h₂＞

2

3

b₂h₂，矛盾，故④不正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．