Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為矩形ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，PC的中點(diǎn)，且PD=PE，PB=PC，求證：
（1）EF∥平面PAD；
（2）平面PDE⊥平面ABCD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取CD中點(diǎn)O，連結(jié)FO，EO，由已知得平面EOF∥平面ADP，從而能證明EF∥平面PAD．
（2）取BC中點(diǎn)G，DE中點(diǎn)H，連接PH，由已知得PG⊥BC，HG⊥BC，從而B(niǎo)C⊥面PHG，進(jìn)而PH⊥BC，PH⊥DE，由此能證明平面PDE⊥平面ABCD．

解答： 證明：（1）取CD中點(diǎn)O，連結(jié)FO，EO，
∵E，F(xiàn)分別為AB，PC的中點(diǎn)，∴FO∥PD，EO∥AD，
又EO∩FO=O，∴平面EOF∥平面ADP，
∵EF?平面EOF，∴EF∥平面PAD．
（2）取BC中點(diǎn)G，DE中點(diǎn)H，連接PH，
∵G是BC中點(diǎn)，PB=PC，∴PG⊥BC，
∵H是DE中點(diǎn)，∴HG∥AB，∴HG⊥BC，
∴BC⊥面PHG，∴PH⊥BC，
∵PD=PE，∴PH⊥DE，
∵DE與BC在同一平面ABCD內(nèi)，且不平行，
∴DE與BC相交，∴PH⊥面ABCD，
∵PH?平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行、平面與平面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．