Question

7．已知點A、F分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點和左焦點，若AF與圓O：x²+y²=4相切于點T，且點T是線段AF靠近點A的三等分點，則橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

Answer 1

分析 如圖所示，設|AT|=m，|FT|=2m，即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT，可得：|OT|²=|TF||AT|，解得m．又|OT|=2，可得b²=2+m²．c²=9m²-b²=12．可得a²=b²+c²，即可得出．

解答 解：如圖所示，設|AT|=m，|FT|=2m，即|AF|=3m．
由△AOT∽△OFT，可得：|OT|²=|TF||AT|，
∴4=2m²，解得m=$\sqrt{2}$．
又|OT|=2，∴b²=2+2²=6．c²=9m²-b²=12．
∴a²=b²+c²=18．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與圓相切的性質、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．