Question

7．過直線y=2x上的一點P作⊙M：（x-2）²+（y-1）²=1的兩條切線l₁，l₂，A，B兩點為切點．若直線l₁，l₂關于直線y=2x對稱，則四邊形PAMB的面積為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 本題考查了直線和圓的有關問題，結合對稱性，可以判斷出MP和直線y=2x對稱，利用切線長相等，可以求出兩個全等的三角形的面積．

解答 解：直線l₁，l₂關于直線y=2x對稱，
所以PM與直線y=2x垂直，
由點到直線的距離公式可得PM=$\frac{2×2-1}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
因為切線長相等，△PAM≌△PBM，
所以四邊形的面積為：
2×$\frac{1}{2}×1×\sqrt{（\frac{3}{\sqrt{5}}）^{2}-1}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 圓和直線的位置關系是考查的重點和難點，抓住切線長相等和對稱性是解題的關鍵．