Question

14．已知x＞0，y＞0，且滿足x+$\frac{y}{2}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{8}{y}$=8，則2x+y的最小值為18．

Answer 1

分析 x＞0，y＞0，且滿足x+$\frac{y}{2}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{8}{y}$=8，化為：$\frac{2x+y}{2}$=8+$\frac{1}{x}+\frac{16}{2y}$，令2x+y=t＞0，則$\frac{（2x+y）^{2}}{2}$=8（2x+y）+（2x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{16}{2y}）$，利用基本不等式的性質(zhì)化簡整理解出即可得出．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且滿足x+$\frac{y}{2}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{8}{y}$=8，
化為：$\frac{2x+y}{2}$=8+$\frac{1}{x}+\frac{16}{2y}$，
令2x+y=t＞0，則$\frac{（2x+y）^{2}}{2}$=8（2x+y）+（2x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{16}{2y}）$=8（2x+y）+2+8+$\frac{y}{x}$+$\frac{16x}{y}$≥8（2x+y）+10+2$\sqrt{\frac{y}{x}×\frac{16x}{y}}$=8（2x+y）+18，
∴t²-16t-36≥0，
解得t≥18，即2x+y≥18，當(dāng)且僅當(dāng)y=4x=12時(shí)取等號．
故答案為：18．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、不等式的解法，考查了變形推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．