分析 向量法:對于(1)求證:MQ∥平面PCB,可求出線的方向向量與面的法向量,如果兩者的內(nèi)積為0則說明線面平行
對于(2)求截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小,求出兩個平面的法向量,然后根據(jù)根據(jù)二面角的正弦與法向量的數(shù)量積的關(guān)系,求解;
解答 解:法一:向量法:
以A為原點,以AD,AB,AP分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖1,
由$AB=2,CD=1,AD=\sqrt{2}$,PA=4PQ=4,M,N分別是PD,PB的中點,
可得:$A({0,0,0}),B({0,2,0}),C({\sqrt{2},1,0}),D({\sqrt{2},0,0}),P({0,0,4}),Q({0,0,3}),M({\frac{{\sqrt{2}}}{2},0,2}),N({0,1,2})$,
∴$\overrightarrow{BC}=({\sqrt{2},-1,0}),\overrightarrow{PB}=({0,2,-4})$,$\overrightarrow{MQ}=({-\frac{{\sqrt{2}}}{2},0,1})$
設(shè)平面的PBC的法向量為$\overrightarrow{n_0}=({x,y,z})$,
則有:$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_0}⊥\overrightarrow{BC}⇒({x,y,z})•({\sqrt{2},-1,0})=0⇒\sqrt{2}x-y=0\\ \overrightarrow{n_0}⊥\overrightarrow{PB}⇒({x,y,z})•({0,2,-4})=0⇒2y-4z=0\end{array}\right.$
令z=1,則$x=\sqrt{2},y=2⇒\overrightarrow{n_0}=({\sqrt{2},2,1})$,(3分)
∴$\overrightarrow{MQ}•\overrightarrow{n_0}=({-\frac{{\sqrt{2}}}{2},0,1})•({\sqrt{2},2,1})=0$,
又MQ?平面PCB,∴MQ∥平面PCB;
(2)設(shè)平面的MCN的法向量為$\overrightarrow n=({x,y,z})$,又$\overrightarrow{CM}=({-\frac{{\sqrt{2}}}{2},-1,2}),\overrightarrow{CN}=({-\sqrt{2},0,2})$
則有:$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n⊥\overrightarrow{CM}⇒({x,y,z})•({-\frac{{\sqrt{2}}}{2},-1,2})=0⇒-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x-y+2z=0\\ \overrightarrow n⊥\overrightarrow{CN}⇒({x,y,z})•({-\sqrt{2},0,2})=0⇒-\sqrt{2}x+2z=0\end{array}\right.$
令z=1,則$x=\sqrt{2},y=1⇒\overrightarrow n=({\sqrt{2},1,1})$,
又$\overrightarrow{AP}=({0,0,4})$為平面ABCD的法向量,
∴$cos\left?{\overrightarrow n,\overrightarrow{AP}}\right>=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{AP}}|}}=\frac{4}{2×4}=\frac{1}{2}$,又截面MCN與底面ABCD所成二面角為銳二面角,
∴截面MCN與底面ABCD所成二面角的大小為$\frac{π}{3}$,
法二:幾何法:
(1)取AP的中點E,連接ED,則ED∥CN,如圖2,
依題有Q為EP的中點,
所以MQ∥ED,所以MQ∥CN,
又MQ?平面PCB,CN?平面PCB,
∴MQ∥平面PCB
(2)易證:平面MEN∥底面ABCD,
所以截面MCN與平面MEN所成的二面角即為平面MCN與底面ABCD所成的二面角,
因為PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥平面MEN,
過E做EF⊥MN,垂足為F,連接QF,
則由三垂線定理可知QF⊥MN,
由(1)可知M,C,N,Q四點共面所以∠QFE為截面MCN與平面MEN所成的二面角的平面角,
$在Rt△MEN中,ME=\frac{{\sqrt{2}}}{2},NE=1,MN=\frac{{\sqrt{6}}}{2},故EF=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,
所以:$tan∠QFE=\sqrt{3}$,
所以:$∠QFE=\frac{π}{3}$;
點評 本題考查了線面平行的證明與二面角的求法,是立體幾何中一道綜合性很強的題,解答本題有一定難度,使用傳統(tǒng)的幾何法和向量法都可以,體會向量法的思維易而運算難與幾何法的思維難而運算易的特征.
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A. | 3 | B. | 4 | C. | 4.5 | D. | 5 |
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A. | [0,1) | B. | [0,2)∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$} | C. | (0,2)∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$} | D. | [0,2$\sqrt{e}$)∪{-$\frac{18}{{e}^{2}}$} |
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