Question

6．已知x＞0，y＞0，且4x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{4}{y}$=17，則函數(shù)F（x，y）=4x+y的最大值與最小值的差為（　　）

• A． 14
• B． 15
• C． 16
• D． 17

Answer 1

分析 設(shè)4x+y=t，代入條件可得4xy=$\frac{4t}{17-t}$，（0＜t＜17），將4x，y可看作二次方程m²-tm+$\frac{4t}{17-t}$=0的兩根，由△≥0，
運(yùn)用二次不等式的解法即可得到所求最值，進(jìn)而得到它們的差．

解答 解：設(shè)4x+y=t，
4x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{4}{y}$=17，即為（4x+y）+$\frac{4x+y}{xy}$=17，
即有t+$\frac{t}{xy}$=17，
可得xy=$\frac{t}{17-t}$，即4xy=$\frac{4t}{17-t}$，（0＜t＜17），
即有4x，y可看作二次方程m²-tm+$\frac{4t}{17-t}$=0的兩根，
由△≥0，可得t²-$\frac{16t}{17-t}$≥0，
化為t²-17t+16≤0，
解得1≤t≤16，
當(dāng)x=$\frac{1}{8}$，y=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)F（x，y）取得最小值1；
當(dāng)x=2，y=8時(shí)，函數(shù)F（x，y）取得最大值16．
可得函數(shù)F（x，y）=4x+y的最大值與最小值的差為15．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和二次方程的實(shí)根的分布，考查判別式法和二次不等式的解法，屬于中檔題．