Question

16．在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=60°，∠D=150°，BC=1，則四邊形ABCD面積的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 把AB長(zhǎng)度調(diào)整，兩個(gè)極端分別為C，D重合，A，D重合分別計(jì)算兩種極限前提下AB的長(zhǎng)度，利用割補(bǔ)法求出四邊形ABCD面積的取值范圍．

解答 解：平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=60°，∠D=150°，∴∠C=90°．
當(dāng)把AB長(zhǎng)度調(diào)整，兩個(gè)極端分別為C，D重合時(shí)，AB=BC=1；
當(dāng)A，D重合時(shí)，由正弦定理得$\frac{1}{sin30°}$=$\frac{AB}{sin90°}$，解得AB=2；
故AB的取值范圍是（1，2），
設(shè)AD=x，則AO=x，∠OAD=120°四邊形ABCD面積S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}{x}^{2}×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}$，
∵OB=2，∴x∈（0，1），∴S∈（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理的運(yùn)用以及極限思想；關(guān)鍵是把AB長(zhǎng)度調(diào)整，兩個(gè)極端分別為C．D重合，A，D重合．