Question

4．如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個圓錐中有一個高為x的圓柱．
（1）用x表示此圓柱的側面積表達式；
（2）當此圓柱的側面積最大時，求此圓柱的體積．

Answer 1

分析 （1）設圓柱的底面半徑為r，根據(jù)相似比求出r與x的關系，代入側面積公式即可；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出側面積最大時x的值，代入體積公式即可．

解答 解：（1）設圓柱的半徑為r，則$\frac{r}{2}=\frac{2-x}{2}$，∴r=2-x，0＜x＜2．
∴S_圓柱側=2πrx=2π（2-x）x=-2πx²+4πx．（0＜x＜2）．
（2）${S_{圓柱側}}=2π（2x-{x^2}）=2π[-{（x-1）^2}+1]$，
∴當x=1時，S_圓柱側取最大值2π，
此時，r=1，所以${V_{圓柱}}=π{r^2}x=π$．

點評 本題考查了旋轉體的結構特征，體積計算，屬于基礎題．