Question

16．${（{{x^3}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}）^5}$的展開式中x⁸的系數(shù)為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)展開式定理的內(nèi)容，先寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，使得變量x的指數(shù)等于8，解出r的值，把r的值代入通項(xiàng)得到這一項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：設(shè)出所求的項(xiàng)是第r+1項(xiàng)，
則T_r+1=C₅^rx^3（5-r）（$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）^r=（$\frac{1}{2}$）^rC₅^rx${\;}^{15-\frac{7}{2}r}$
要求x⁸的系數(shù)，只要使得15-$\frac{7}{2}$r=8，
得r=2，故在求二項(xiàng)式展開式里含x⁸項(xiàng)的系數(shù)為（$\frac{1}{2}$）²C₅²=$\frac{1}{4}×10$=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，在這種題目中通項(xiàng)是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具．