Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為S_n，并且對于所有的自然數(shù)n，a_n與2的等差中項等于S_n與2的等比中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的首項，并證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）令b_n=

an+1

an

+

an

an+1

（n∈N⁺），求證b₁+b₂+…+b_n-2n＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意得

an+2

2

=

2Sn

，a_n＞0，平方可得S_n=

1

8

（a_n+2）²，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

8

（a_n+2）²-

1

8

（a_n-1+2）²，變形整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）利用裂項法求和，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由題意得

an+2

2

=

2Sn

，a_n＞0，
平方可得S_n=

1

8

（a_n+2）²，
當(dāng)n=1時，a₁=

1

8

（a₁+2）²，解得a₁=2，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

8

（a_n+2）²-

1

8

（a_n-1+2）²，
變形整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
由題意知a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=4
∴數(shù)列{a_n}為首項為2，公差為4的等差數(shù)列，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2
（ II）證明：令c_n=b_n-2，則cn=

an+1

an

+

an

an+1

-2=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
b₁+b₂+…+b_n-n=c₁+c₂+…+c_n
=[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]•2=2-

2

2n+1

．

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的通項與求和，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．