Question

2．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞a＞0）與兩條平行線l₁：y=x+a和l₂：y=x-a的交點(diǎn)相連所得到的平行四邊形的面積為8b²，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 將直線y=x+a代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，再由兩平行直線的距離公式，結(jié)合平行四邊形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用雙曲線的離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由y=x+a代入雙曲線的方程，可得（b²-a²）x²-2a³x-a⁴-a²b²=0，
設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{2{a}^{3}}{^{2}-{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{4}+{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，
由弦長(zhǎng)公式可得|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{2{a}^{3}}{{a}^{2}-^{2}}）^{2}-\frac{4（{a}^{4}+{a}^{2}^{2}）}{{a}^{2}-^{2}}}$=2$\sqrt{2}$•$\frac{a^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，
由兩平行直線的距離公式可得d=$\frac{|-a-a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2a}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$a，
由題意可得8b²=2$\sqrt{2}$•$\frac{a^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$•$\sqrt{2}$a，
化為a²=2b²，即b²=$\frac{1}{2}$a²，又b²=c²-a²=$\frac{1}{2}$a²，
可得c²=$\frac{3}{2}$a²，即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意直線和雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及兩平行直線的距離公式，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．