Question

3．已知遞增的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)是1，S_n是其前n項(xiàng)和，且$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}=\frac{3}{2}$（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=a_n•2^a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}有公差為d，d＞0；從而化簡可得3d²+d-4=0，從而解得d=1，從而寫出通項(xiàng)公式；
（2）化簡b_n=a_n•2^a_n=n•2ⁿ，從而利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}有公差為d，d＞0；
則1+$\frac{1}{2+d}$+$\frac{1}{3+3d}$=$\frac{3}{2}$，
整理可得，3d²+d-4=0，
解得，d=1或d=-$\frac{4}{3}$（舍去），
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n；
（2）b_n=a_n•2^a_n=n•2ⁿ，
故T_n=1×2+2×4+3×8+…+n•2ⁿ，
2T_n=1×4+2×8+3×16+…+n•2ⁿ⁺¹，
作差可得：
-T_n=2+4+8+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
故T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用及整體思想與方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題．