在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,f(x)=2sin(x-A)cosx+sin(B+C)(x∈R),函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
π
6
,0)對(duì)稱(chēng).
(Ⅰ)當(dāng)x∈(0,
π
2
)時(shí),求f(x)的值域;
(Ⅱ)若a=7且sinB+sinC=
13
3
14
,求△ABC的面積.
考點(diǎn):正弦定理
專(zhuān)題:計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形
分析:(Ⅰ)運(yùn)用兩角差的正弦公式和誘導(dǎo)公式,結(jié)合二倍角公式,化簡(jiǎn)f(x),再由對(duì)稱(chēng)性,計(jì)算可得A,再由x的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),即可得到值域;
(Ⅱ)運(yùn)用正弦定理和余弦定理,可得bc=40,再由面積公式即可計(jì)算得到.
解答: 解:(Ⅰ)f(x)=2sin(x-A)cosx+sin(B+C)
=2(sinxcosA-cosxsinA)cosx+sinA
=2sinxcosxcosA-2cos2xsinA+sinA
=sin2xcosA-cos2xsinA=sin(2x-A),
由于函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
π
6
,0)對(duì)稱(chēng),則f(
π
6
)=0,
即有sin(
π
3
-A)=0,由0<A<π,則A=
π
3

則f(x)=sin(2x-
π
3
),
由于x∈(0,
π
2
),則2x-
π
3
∈(-
π
3
3
),
即有-
3
2
<sin(2x-
π
3
)≤1.
則值域?yàn)椋?
3
2
,1];
(Ⅱ)由正弦定理可得
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=
14
3

則sinB=
3
14
b,sinC=
3
14
c,
sinB+sinC=
3
14
(b+c)=
13
3
14
,
即b+c=13,
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,
即49=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
即有bc=40,
則△ABC的面積為S=
1
2
bcsinA=
1
2
×40×
3
2
=10
3
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查正弦定理和余弦定理以及面積公式的運(yùn)用,考查兩角和差的正弦公式和二倍角公式的運(yùn)用,考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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2i
1+i
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=
 

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3
4
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4
5
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2
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1
2
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