Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₃a₇=-16，a₄+a₆=0
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）若d＞0，求數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n最小值及取的最小值時(shí)的n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可得a1和d的方程組，解方程組代入通項(xiàng)公式和求和公式可得；（Ⅱ）由題意可得通項(xiàng)公式，可得數(shù)列{a_n}前4項(xiàng)為負(fù)數(shù)，第5項(xiàng)為0，從第6項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，易得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則

a3a7=(a1+2d)(a1+6d)=-16 a4+a6=a1+3d+a1+5d=0

，
解得

a1=-8 d=2

或

a1=8 d=-2

，
∴當(dāng)

a1=-8 d=2

時(shí)可得a_n=-8+2（n-1）=2n-10，此時(shí)S_n=-8n+

n(n-1)

2

×2=n²-9n，
當(dāng)

a1=8 d=-2

時(shí)可得a_n=8-2（n-1）=-2n+10，此時(shí)S_n=8n+

n(n-1)

2

×（-2）=-n²+9n；
（Ⅱ）∵d＞0，∴

a1=-8 d=2

，a_n=2n-10，
令a_n=2n-10≥0可解得n≥5，
∴數(shù)列{a_n}前4項(xiàng)為負(fù)數(shù)，第5項(xiàng)為0，從第6項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，
∴數(shù)列的前4項(xiàng)或前5項(xiàng)和最小為S₅=S₄=4²-9×4=-20

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，涉及分類(lèi)討論的思想，屬基礎(chǔ)題．