Question

5．已知x，y∈R⁺，x+2y=2，則$\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+|y|的最小值分別是$\sqrt{2}$+1；$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 x，y∈R⁺，x+2y=2，可得x=2-2y＞0，解得0＜y＜1．則$\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{y}{2-2y}+\frac{1}{y}$=f（y），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值可得：當(dāng)y=2-$\sqrt{2}$時(shí)，f（y）取得最小值.$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+|y|=$\sqrt{（2-2y）^{2}+{y}^{2}}$+y=$\sqrt{5{y}^{2}-8y+4}$+y=g（y），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：∵x，y∈R⁺，x+2y=2，∴x=2-2y＞0，解得0＜y＜1．
則$\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{y}{2-2y}+\frac{1}{y}$=f（y），f′（y）=$\frac{2-2y+2y}{（2-2y）^{2}}$-$\frac{1}{{y}^{2}}$=$\frac{2{y}^{2}-（2-2y）^{2}}{{y}^{2}（2-2y）^{2}}$=$\frac{-2[y-（2+\sqrt{2}）][y-（2-\sqrt{2}）]}{{y}^{2}（2-2y）^{2}}$，
可知：當(dāng)y=2-$\sqrt{2}$時(shí)，f（y）取得最小值，f（2-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$+1．
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+|y|=$\sqrt{（2-2y）^{2}+{y}^{2}}$+y=$\sqrt{5{y}^{2}-8y+4}$+y=g（y），
g′（y）=$\frac{10y-8}{2\sqrt{5{y}^{2}-8y+4}}$+1=$\frac{5y-4+\sqrt{5{y}^{2}-8y+4}}{\sqrt{5{y}^{2}-8y+4}}$，
令5y-4+$\sqrt{5{y}^{2}-8y+4}$=0，解得：y=$\frac{3}{5}$，
∴當(dāng)y=$\frac{3}{5}$時(shí)，g（y）取得最小值，$g（\frac{3}{5}）$=$\frac{8}{5}$．
故答案分別為：$\sqrt{2}$+1；$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．