Question

19．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓C上的點，在△PF₁F₂中，點Q滿足$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=4$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，∠F₁PF₂=∠QF₂F₁，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（　　）

• A． 0＜e＜$\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{5}$＜e＜$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$＜e＜1
• D． 0＜e＜$\frac{1}{5}$或$\frac{1}{3}$＜e＜1

Answer 1

分析 由題意可設(shè)|F₁Q|=t，|F₁P|=4t，運(yùn)用三角形相似的判斷和性質(zhì)，可得t=c，由橢圓的性質(zhì)可得a-c＜|F₁P|＜a+c，運(yùn)用離心率公式計算即可得到所求范圍．

解答 解：由點Q滿足$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=4$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，
設(shè)|F₁Q|=t，|F₁P|=4t，
在△F₁PF₂和△F₁F₂Q中，∠F₁PF₂=∠QF₂F₁，∠PF₁F₂=∠F₂F₁Q，
可得△F₁PF₂∽△F₁F₂Q，即有：
$\frac{{F}_{1}P}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}{F}_{2}}{{F}_{1}Q}$，即$\frac{4t}{2c}$=$\frac{2c}{t}$，
可得t=c，由a-c＜|F₁P|＜a+c，
可得a-c＜4c＜a+c，
即為a＜5c且a＞3c，
由e=$\frac{c}{a}$可得$\frac{1}{5}$＜e＜$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的離心率的范圍，注意運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)，以及橢圓的點到焦點的距離的最值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．