Question

7．已知數(shù)列{a_n}是首項為1，公差不為0的等差數(shù)列，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求證：S_n＜1．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，由a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₄，即（1+d）²=1×（1+3d），解得d即可得出．
（II）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂項求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （I）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，∵a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₄，∴（1+d）²=1×（1+3d），解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（II）證明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點評 本題考查了“裂項求和”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．