Question

12．已知函數(shù)f（x）=2cos（π-$\frac{x}{2}$）•tan（π-$\frac{x}{2}$）•cos$\frac{x}{2}$，-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{2}$）的值；
（2）判斷函數(shù)是否是偶函數(shù)（請(qǐng)直接給出結(jié)論）；
（3）求f（2x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系對(duì)函數(shù)f（x）的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，代入求值即可；
（2）根據(jù)偶函數(shù)的定義進(jìn)行推斷；
（3）根據(jù)余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行解答．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos（π-$\frac{x}{2}$）•tan（π-$\frac{x}{2}$）•cos$\frac{x}{2}$，-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$．
∴f（x）=2sin$\frac{x}{2}$•（-tan$\frac{x}{2}$）•cos$\frac{x}{2}$=-2sin²$\frac{x}{2}$=cosx-1．
則f（$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{π}{2}$-1=-1；
（2）該函數(shù)是偶函數(shù)．理由如下：
由（1）知，f（x）=cosx-1．
∵f（-x）=cos（-x）-1=cosx-1=f（x），即f（-x）=f（x），
∴該函數(shù)是偶函數(shù)．
（3）∵f（2x）=cos2x-1．x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x∈[-$\frac{π}{3}$，π]，
∴f（2x）_最大值=0，f（2x）_最小值=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，考查了求三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．