(本小題滿分12分)若實數(shù)a>0且a≠2,函數(shù).

(1)證明函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,并求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若在區(qū)間(0,+∞)上至少存在一點x0,使得f(x0)<1成立,求實數(shù)a的取值范圍.

 

(1)見解析;(2)(0,)∪(6,+∞)

【解析】

試題分析:(1)只需證明x=1是導函數(shù)的零點,進而通過對a的討論,可求出單調(diào)區(qū)間;(2)只需在(0,+∞)上f(x)最小值<1即可.

試題解析:(1)∵

∴f '(x)=ax2-(a+2)x+2=a(x-1)(x-

當a>2時,0<<1,列表如下:

∴函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值,

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(,1).

當0<a<2時,>1,列表如下:

∴函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,1)和(,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,).

(2)因為f(0)=1,由(1)知要使在區(qū)間(0,+∞)上至少存在一點x0,使得f(x0)<1成立,只需在區(qū)間(0,+∞)上f(x)極小值<1即可

當a>2時,f(x)極小值=f(1)=2-<1,所以a>6.

當0<a<2時,f(x)極小值=f()=1+<1,解得0<a<

綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(0,)∪(6,+∞)

考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,不等式恒成立問題

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:2015屆四川省成都實驗外國語高三11月月考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)

(1)當時,求函數(shù)取得最大值和最小值時的值;

(2)設銳角△ABC的內(nèi)角A、B、C的對應邊分別是a,b,c,且a=1,c∈N*,若向量與向量平行,求c的值.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2015屆四川省高三10月月考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

已知數(shù)列的前項和,則數(shù)列( )

A.一定是等差數(shù)列

B.一定是等比數(shù)列

C.或者是等差數(shù)列,或者是等比數(shù)列

D.既不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2015屆四川省高三10月月考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

如圖所示,等邊△ABC的邊長為2,D為AC中點,且△ADE也是等邊三角形,在△ADE以點A為中心向下轉(zhuǎn)動到穩(wěn)定位置的過程中,的取值范圍是( )

A. B. C. D.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2015屆四川省高三10月月考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

已知,其中是虛數(shù)單位,那么實數(shù)的值為( )

A.1 B.2 C. D.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2015屆四川省巴蜀好教育聯(lián)盟12月大聯(lián)考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題

已知x>-1,y>0且滿足x+2y=1,則的最小值為_____________.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2015屆四川省巴蜀好教育聯(lián)盟12月大聯(lián)考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

某程序框圖如圖所示,若輸出的S=57,則判斷框內(nèi)應填( )

A、k>4? B、k>5? C、k>6? D、k>7?

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2015屆四川省巴蜀好教育聯(lián)盟12月大聯(lián)考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題

已知向量=(1,1),=(-1,k),(2)·=5,則實數(shù)k=__________.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2015屆吉林省吉林市高三第一次摸底考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題

已知直線l⊥平面α,直線 m平面β,有下列四個命題:①若α∥β,則 l⊥ m ;②若α⊥β,則l∥m;③若l∥m,則α⊥β;④若l⊥m,則α∥β.其中正確命題序號是 .

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案