Question

19．某工藝廠有銅絲5萬米，鐵絲9萬米，準(zhǔn)備用這兩種材料編制成花籃和花盆出售．已知編制一只花籃需要銅絲200米，鐵絲300米；編制一只花盆需要銅絲100米，鐵絲300米．設(shè)該廠用所有原料編制x個(gè)花籃，y個(gè)花盆．
（1）列出x、y滿足的關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（2）若出售一個(gè)花籃可獲利300元，出售一個(gè)花盆可獲利200元，那么怎樣安排花籃和花盆的編制個(gè)數(shù)，可使所得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析 （1）列出x、y滿足的關(guān)系式為$\left\{\begin{array}{l}200x+100y≤50000\\ 300x+300y≤90000\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域即可．
（2）設(shè)該廠所得利潤(rùn)為z元，寫出目標(biāo)函數(shù)，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求解目標(biāo)函數(shù)z=300x+200y，所獲得利潤(rùn)．

解答 （本小題滿分13分）
（1）解：由已知x、y滿足的關(guān)系式為$\left\{\begin{array}{l}200x+100y≤50000\\ 300x+300y≤90000\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}2x+y≤500\\ x+y≤300\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$…（3分）
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分 …（6分）

（2）解：設(shè)該廠所得利潤(rùn)為z元，則目標(biāo)函數(shù)為z=300x+200y…（8分）
將z=300x+200y變形為$y=-\frac{3}{2}x+\frac{z}{200}$，這是斜率為$-\frac{3}{2}$，在y軸上截距為$\frac{z}{200}$、隨z變化的一族平行直線．…（9分）
又因?yàn)閤、y滿足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線$y=-\frac{3}{2}x+\frac{z}{200}$經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距$\frac{z}{200}$最大，即z最大…（10分）
解方程組$\left\{\begin{array}{l}2x+y=500\\ x+y=300\end{array}\right.$得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（200，100）且恰為整點(diǎn)，即x=200，y=100…（11分）
所以，z_max=300×200+200×100=80000…（12分）
答：該廠編制200個(gè)花籃，100花盆所獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為8萬元．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，列出約束條件以及目標(biāo)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，注意目標(biāo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用．