Question

11．已知：函數(shù)g（x）=x²-2x+1．設函數(shù)f（x）=$\frac{g（x）}{x}$
（1）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]時恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）如果關于x的方程f（|2^x-1|）+t•（$\frac{4}{|{2}^{x}-1|}$-3）=0有三個相異的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元法，求出函數(shù)的最值，即可得到結論；
（2）構造U=|2^x-1|＞0，整理方程 u²-（3t+2）u+（4t+1）=0，根據(jù)U函數(shù)圖象可知當0＜u₁＜1＜u₂時，原方程有三個相異實根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可得出滿足的不等式φ（0）＞0，φ（1）＜0．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{g（x）}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-2，
∴f（2^x）-k•2^x=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2-k2^x≥0在x∈[-1，1]時恒成立，
設t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∴k≤（t-1）²，
∴k≤0；
（2）f（|2^x-1|）+t•（$\frac{4}{|{2}^{x}-1|}$-3）=0，
令U=|2^x-1|＞0，
當U=|2^x-1|＞1時，只能2^x-1＞1，x有唯一解；
當U=|2^x-1|＜1時，0＜2^x-1＜1，或-1＜2^x-1＜0，
有兩個解，
∴u²-（3t+2）u+（4t+1）=0，
∴記方程的根為u₁，u₂，當0＜u₁＜1＜u₂時，原方程有三個相異實根，
記φ（u）=u²-（3t+2）u+（4t+1），由題可知，
∴φ（0）＞0，φ（1）＜0，
∴-$\frac{1}{4}$＜t＜0．

點評 考查了換元法的應用和構造函數(shù)，利用二次函數(shù)圖象解決實際問題．