Question

14．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分別為CC₁，A₁B的中點，A₁D⊥CC₁，△AA₁B是邊長為2的正三角形，A₁D=2，BC=1．
（1）證明：MD∥平面ABC；
（2）證明：BC⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點H，連接HM，CH，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明MD∥平面ABC；
（2）根據(jù)三角形的邊長關系證明三角形是直角三角形，然后結合線面垂直的判定定理即可證明BC⊥平面ABB₁A₁．

解答 證明：（1）取AB的中點H，連接HM，CH，
∵D、M分別為CC₁和A₁B的中點
∴HM∥BB₁，HM=$\frac{1}{2}$BB₁=CD，
∴HM∥CD，HM=CD，
則四邊形CDMH是平行四邊形，
則CH=DM．
∵CH?平面ABC，DM?平面ABC，
∴MD∥平面ABC；
（2）取BB₁的中點E，
∵△AA₁B是邊長為2的正三角形，A₁D=2，BC=1．
∴C₁D=1，
∵A₁D⊥CC₁，
∴A₁C₁=$\sqrt{{2}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$，
則A₁B₁²+A₁B₁²=4+1=5=A₁C₁²，
則△A₁B₁C₁是直角三角形，
則B₁C₁⊥A₁B₁，
∵在正三角形BA₁B₁中，A₁E=$\sqrt{3}$，
∴A₁E²+DE²=3+1=4=A₁D₁²，
則△A₁DE是直角三角形，
則DE⊥A₁E，
即BC⊥A₁E，BC⊥A₁B₁，
∵A₁E∩A₁B₁=A₁，
∴BC⊥平面ABB₁A₁．

點評 本題主要考查面面垂直，線面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，綜合性較強，屬于中檔題．