Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n，則{a_n}的前100項(xiàng)和為5100．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n，當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1+a_2k=4k，a_2k-a_2k-1=4k-2．可得：a_2k+1+a_2k-1=2，a_2k+2+a_2k=8k+2．通過(guò)分組利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n，
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1+a_2k=4k，
a_2k-a_2k-1=4k-2．
∴a_2k+1+a_2k-1=2，a_2k+2+a_2k=8k+2．
則{a_n}的前100項(xiàng)和=（a₁+a₃+…+a₉₉）+（a₂+a₄+…+a₁₀₀）=25×2+[（8×1+2）+（8×3+2）+…+（8×49+2）]
=50+$\frac{25×（10+394）}{2}$
=5100．
故答案為：5100．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、分組求和方法、等差數(shù)列的求和公式，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．