Question

2．下列命題中是假命題的是（　�。�

• A． ?x∈（0，$\frac{π}{2}$），x＞sinx
• B． ?x₀∈R，sinx₀+cosx₀=2
• C． “?x∈R，3^x＞0”
• D． ?x₀∈R，x₀+$\frac{1}{x_0}$=-3

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)法，可得：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）=x-sinx＞0，可判斷A；
求出sinx+cosx的取值范圍，可判斷B；
由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷C；
根據(jù)對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷D．

解答 解：令f（x）=x-sinx，則f′（x）=1-cosx≥0恒成立，
由f（0）=0得：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），f（x）＞0，即x＞sinx，故A為真命題；
sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，2∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，故B這假命題；
由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得“?x∈R，3^x＞0”，故C為真命題
x₀+$\frac{1}{x_0}$∈（-∞，-2]∪[2，+∞），-3∈（-∞，-2]∪[2，+∞），故D為真命題，
故選：B．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了全稱命題和特特命題的判斷，難度中檔．