Question

7．已知函數(shù)f（x）=4sin²（$\frac{π}{4}$+x）-2$\sqrt{3}$cos2x-1，且給定條件p：x＜$\frac{π}{4}$或x＞$\frac{π}{2}$，x∈R，若條件q：-3＜f（x）-m＜3，且￢p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 先由題意可得在$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$的條件下，得$\left\{\begin{array}{l}{m＞f（x）-3}\\{m＜f（x）+3}\end{array}\right.$恒成立，再根據(jù)兩角和與差的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由x的范圍求出2x-$\frac{π}{3}$的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出f（x）的范圍，繼而得到只需$\left\{\begin{array}{l}{m＞5-3}\\{m＜3+3}\end{array}\right.$成立，解得即可．

解答 解：由條件q可得$\left\{\begin{array}{l}{m＞f（x）-3}\\{m＜f（x）+3}\end{array}\right.$，
∵￢p是q的充分條件，
∴在$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$的條件下，得$\left\{\begin{array}{l}{m＞f（x）-3}\\{m＜f（x）+3}\end{array}\right.$恒成立，
∵f（x）=2[1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）]-2$\sqrt{3}$cos2x-1
=2sin2x-2$\sqrt{3}$cos2x+1
=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
又∵$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
即3≤4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1≤5，即3≤f（x）≤5，
∴只需$\left\{\begin{array}{l}{m＞5-3}\\{m＜3+3}\end{array}\right.$成立，
即2＜m＜6，
∴m的取值范圍為（2，6）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和與差的公式的應(yīng)用和正弦函數(shù)的性質(zhì)．高考中對(duì)三角函數(shù)的考查以基礎(chǔ)題為主，平時(shí)要注意對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的積累和運(yùn)用的靈活性的鍛煉．