Question

（本題滿分16分）本題共3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.
在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線：和點(diǎn)記若<0，則稱點(diǎn)被直線分隔.若曲線C與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，且曲線C上存在點(diǎn)被直線分隔，則稱直線為曲線C的一條分隔線.
⑴求證：點(diǎn)被直線分隔；
⑵若直線是曲線的分隔線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
⑶動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E，求證：通過(guò)原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分割線.

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

試題分析：本題屬于新定義問(wèn)題，（1）我們只要利用題設(shè)定義求出的值，若，則結(jié)論就可得證；（2）直線是曲線的分隔線，首先直線與曲線無(wú)交點(diǎn)，即直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組，方程組應(yīng)無(wú)實(shí)解，方程組變形為，此方程就無(wú)實(shí)解，注意分類討論，按二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0分類，然后在曲線上找到兩點(diǎn)位于直線的兩側(cè)．則可得到所求范圍；（3）首先求出軌跡的方程，化簡(jiǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線中，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)其方程為，然后解方程組，變形為，這個(gè)方程有無(wú)實(shí)數(shù)解，直接判斷不方便，可轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)與的圖象有無(wú)交點(diǎn)，而這可利用函數(shù)圖象直接判斷．是開(kāi)口方向向上的二次函數(shù)，是冪函數(shù)，其圖象一定有交點(diǎn)，因此直線不是的分隔線，過(guò)原點(diǎn)的直線還有一條就是，它顯然與曲線無(wú)交點(diǎn)，又曲線上兩點(diǎn)一定在直線兩側(cè)，故它是分隔線，結(jié)論得證．
試題解析：（1）由題得，，∴被直線分隔.
（2）由題得，直線與曲線無(wú)交點(diǎn)
即無(wú)解
∴或，∴.
又對(duì)任意的，點(diǎn)和在曲線上，滿足，被直線分隔，所以所求的范圍是．
（3）由題得，設(shè)，∴，
化簡(jiǎn)得，點(diǎn)的軌跡方程為
①當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為.
聯(lián)立方程，.
令，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240538475011209.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以方程有實(shí)解，直線與曲線有交點(diǎn)．直線不是曲線的分隔線．
②當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，其方程為.
顯然與曲線沒(méi)有交點(diǎn)，又曲線上的兩點(diǎn)對(duì)于直線滿足，即點(diǎn)被直線分隔．所以直線是分隔線．
綜上所述，僅存在一條直線是的分割線.
【考點(diǎn)】新定義，直線與曲線的公共點(diǎn)問(wèn)題.