分析 (I)通過在an+1+an=10•4n-1(n∈N*)中分別令n=1、2計算可知等比數(shù)列{an}前三項(xiàng)的值,進(jìn)而可知an=22n-1,根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知bn=2n-1,利用公式計算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(I)裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加可知數(shù)列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n項(xiàng)和,利用等比數(shù)列的求和公式可知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,兩者相加即得結(jié)論.
解答 解:(I)在an+1+an=10•4n-1(n∈N*)中分別令n=1、2可知:
a1+a2=10,a2+a3=40,
又∵a1,a2,a3構(gòu)成等比數(shù)列,
∴a1=2,a2=8,a3=32,
∴an=2•4n-1=22n-1,bn=log2an=bn=log222n-1=2n-1,
Sn=$\frac{n(1+2n-1)}{2}$=n2;
(Ⅱ)由(I)可知${c_n}={b_n}•({\frac{{2{S_n}}}{n}+1})$=(2n-1)•(2n+1),
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),
由等比數(shù)列的求和公式可知,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為$\frac{2(1-{4}^{n})}{1-4}$=$\frac{2({4}^{n}-1)}{3}$,
并項(xiàng)相加可知,數(shù)列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{n}{2n+1}$,
從而Tn=$\frac{2({4}^{n}-1)}{3}$+$\frac{n}{2n+1}$.
點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查裂項(xiàng)相消法,考查分組求和法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -$\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | -$\frac{7}{9}$ | D. | $\frac{7}{9}$ |
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A. | $\sqrt{2}$-1 | B. | 2$\sqrt{2}$-2 | C. | 1 | D. | 2 |
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A. | 2 | B. | 4 | C. | 16 | D. | 0 |
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A. | (1,$\sqrt{3}$) | B. | (1,$\sqrt{5}$) | C. | ($\sqrt{3}$,+∞) | D. | ($\sqrt{5}$,+∞) |
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