5.已知等比數(shù)列{an}滿足an+1+an=10•4n-1(n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且bn=log2an
(I)求bn,Sn
(Ⅱ)設(shè)${c_n}={b_n}•({\frac{{2{S_n}}}{n}+1})$,求數(shù)列$\left\{{{a_n}+\frac{1}{c_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和Tn

分析 (I)通過在an+1+an=10•4n-1(n∈N*)中分別令n=1、2計算可知等比數(shù)列{an}前三項(xiàng)的值,進(jìn)而可知an=22n-1,根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知bn=2n-1,利用公式計算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(I)裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加可知數(shù)列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n項(xiàng)和,利用等比數(shù)列的求和公式可知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,兩者相加即得結(jié)論.

解答 解:(I)在an+1+an=10•4n-1(n∈N*)中分別令n=1、2可知:
a1+a2=10,a2+a3=40,
又∵a1,a2,a3構(gòu)成等比數(shù)列,
∴a1=2,a2=8,a3=32,
∴an=2•4n-1=22n-1,bn=log2an=bn=log222n-1=2n-1,
Sn=$\frac{n(1+2n-1)}{2}$=n2;
(Ⅱ)由(I)可知${c_n}={b_n}•({\frac{{2{S_n}}}{n}+1})$=(2n-1)•(2n+1),
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),
由等比數(shù)列的求和公式可知,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為$\frac{2(1-{4}^{n})}{1-4}$=$\frac{2({4}^{n}-1)}{3}$,
并項(xiàng)相加可知,數(shù)列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{n}{2n+1}$,
從而Tn=$\frac{2({4}^{n}-1)}{3}$+$\frac{n}{2n+1}$.

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查裂項(xiàng)相消法,考查分組求和法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.已知sin(x+$\frac{π}{2}$)=$\frac{1}{3}$,則cos2x=( 。
A.-$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{3}$C.-$\frac{7}{9}$D.$\frac{7}{9}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.將雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)、虛軸的一個端點(diǎn)所組成的三角形叫做雙曲線的“黃金三角形”,則雙曲線C:x2-y2=4的“黃金三角形”的面積是(  )
A.$\sqrt{2}$-1B.2$\sqrt{2}$-2C.1D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中,2a6+2a8=a72,則a7=( 。
A.2B.4C.16D.0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.曲線f(x)=$\sqrt{2}$sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的部分圖象如圖所示,曲線f(x)的解析式為f(x)=$\sqrt{2}$sin(2x-$\frac{π}{3}$).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,PB=PC=$\sqrt{2}$,E是PB的中點(diǎn),AD∥BC,AD⊥CD,BC=2CD=2AD=2.
(Ⅰ)求證:AE∥平面PCD;
(Ⅱ)設(shè)F是線段CD上的點(diǎn),若CF=$\frac{1}{3}$CD,求三棱錐F-PAB的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.設(shè)雙曲線C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線x=-1的一個交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0,若|y0|<2,則雙曲線C的離心率的取值范圍是( 。
A.(1,$\sqrt{3}$)B.(1,$\sqrt{5}$)C.($\sqrt{3}$,+∞)D.($\sqrt{5}$,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.計算:sin65°cos35°-sin25°sin35°=$\frac{1}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.在某校統(tǒng)考中,甲、乙兩班數(shù)學(xué)學(xué)科前10名的成績?nèi)绫恚?br />(I)若已知甲班10位同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為125,乙班10位同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均分為130,求x,y的值;
(Ⅱ)設(shè)定分?jǐn)?shù)在135分之上的學(xué)生為數(shù)學(xué)尖優(yōu)生,從甲、乙兩班的所有數(shù)學(xué)尖優(yōu)生中任兩人,求兩人在同一班的概率.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案