【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）試問(wèn)：是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定點(diǎn)，使得為定值

【解析】

（Ⅰ）由題意可知，，則，，即，,進(jìn)而得到橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線AB和橢圓方程，，代入韋達(dá)定理即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，此時(shí)可求出，和之前的相等.

（Ⅰ）由題意可知，，則，

又的周長(zhǎng)為8，所以，即，，

故橢圓的方程：；

（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為定值，

若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，

設(shè)點(diǎn)，，

將設(shè)的方程代入橢圓方程，

整理得，

由韋達(dá)定理可得：，，

由于，，

則

，

因?yàn)?/span>為定值，

所以，

解得，此時(shí)，

若直線的斜率不存在，

直線的方程為，，，

則，

當(dāng)，得，

綜上所述：存在定點(diǎn)，使得為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線橢圓于另一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且．若，求直線的斜率．

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(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，求A∪B；

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A. f(x)的一個(gè)周期為－2π

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