Question

已知焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線E過點(diǎn)P（-3

2

，4），它的漸近線方程為y=±

4

3

x，
（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=x+1與E交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．（要求結(jié)果化到最簡(jiǎn)）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運(yùn)用漸近線方程與雙曲線的方程的關(guān)系，可設(shè)雙曲線的方程為y²-

16

9

x²=λ（λ≠0），再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入解方程，即可得到雙曲線方程；
（2）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去y，得到二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，即可得到所求值．

解答： 解：（1）由于漸近線方程為y=±

4

3

x，
則可設(shè)雙曲線的方程為y²-

16

9

x²=λ（λ≠0），
將點(diǎn)P（-3

2

，4）代入得，λ=16-

16

9

×18=-16，
則雙曲線E方程為

x2

9

-

y2

16

=1；
（2）將直線y=x+1代入雙曲線方程，可得7x²-18x-153=0，
顯然判別式大于0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

18

7

，x₁x₂=-

153

7

，
則|AB|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

( 18 7 )2+ 4×153 7

=

96

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．