Question

1．如圖，在△ABC中，已知∠ABD=$\frac{π}{2}$，∠CBD=$\frac{π}{6}$，AB=CD=1，則BC=$\root{3}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠A=α，則∠BDC=90°+α，結(jié)合已知，首先利用正弦定理將AD用BC表示，然后在三角形ABC中利用余弦定理得到關(guān)于BC的方程解之．

解答 解：設(shè)∠A=α，則∠BDC=90°+α，∠ABD=$\frac{π}{2}$，∠CBD=$\frac{π}{6}$，AB=CD=1，
在△BDC中，由正弦定理得$\frac{BC}{sin（90°+α）}=\frac{CD}{sin30°}$，整理得cosα=$\frac{BC}{2}$，所以AD=$\frac{AB}{cosα}$=$\frac{2}{BC}$，
在三角形ABC中，AB²+BC²-2AB×BCcos120°=AC²，
即1+BC²+BC=（1+$\frac{2}{BC}$）²，解得BC³=4，所以BC=$\root{3}{4}$；
故答案為：$\root{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，用到了方程思想．