Question

10．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，則|2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\sqrt{7}$-1．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)$\overrightarrow{a}$=（2，0），則$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$），根據(jù)數(shù)量積的幾何意義得出C的軌跡，利用點(diǎn)到圓的最短距離求出|2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最小值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，∴cos＜$\overrightarrow{a}，b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=60°．
設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，
∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴$\overrightarrow{CA}⊥\overrightarrow{CB}$，∴C的軌跡為以AB為直徑的圓M．
其中M（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），半徑r=1．
延長(zhǎng)OB到D，則D（2，2$\sqrt{3}$）．連結(jié)DM，交圓M于C點(diǎn)，則CD為|2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最小值．
DM=$\sqrt{（2-\frac{3}{2}）^{2}+（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴CD=$\sqrt{7}-1$．
故答案為：$\sqrt{7}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，平面向量的幾何意義，屬于中檔題．