Question

5．已知f（x）=a（x-lnx）+$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，a∈R．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，證明：f（x）＞f′（x）+$\frac{5}{4}$對(duì)于任意的x∈[1，2]成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出f（x）-f′（x）的表達(dá)式，分別令$g（x）=\frac{1}{2}（{x-lnx}），h（x）=\frac{5}{2x}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}-\frac{1}{2}，x∈[{1，2}]$，則f（x）-f′（x）=g（x）+h（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性怎么即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
${f^/}（x）=a（{1-\frac{1}{x}}）-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x^3}=\frac{{（{a{x^2}-2}）（{x-1}）}}{x^3}$，
當(dāng)a≤0，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{3}}$（x+$\sqrt{\frac{2}{a}}$）（x-$\sqrt{\frac{2}{a}}$），
①0＜a＜2時(shí)$\sqrt{\frac{2}{a}}＞1$，
當(dāng)$x∈（{0，1}）或x∈（{\sqrt{\frac{2}{a}}，+∞}）$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，$\sqrt{\frac{2}{a}}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；   
②a=2時(shí)$\sqrt{\frac{2}{a}}=1$，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；
③a＞2時(shí)，$0＜\sqrt{\frac{2}{a}}＜1$，
當(dāng)$x∈（{0，\sqrt{\frac{2}{a}}}）或x∈（{1，+∞}）時(shí)，{f^/}（x）＞0，f（x）$單調(diào)遞增，
當(dāng)$x∈（{\sqrt{\frac{2}{a}}，1}）$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
綜上所述，
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在1，$\sqrt{\frac{2}{a}}$）內(nèi)單調(diào)遞減，在（$\sqrt{\frac{2}{a}}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{\frac{2}{a}}$）內(nèi)單調(diào)遞增，在（$\sqrt{\frac{2}{a}}$，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
（2）證明：由（1）知，$a=\frac{1}{2}$時(shí)，
$f（x）-{f^/}（x）=\frac{1}{2}（{x-lnx}）+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{x}}）+\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}$
=$\frac{1}{2}（{x-lnx}）+\frac{5}{2x}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}-\frac{1}{2}，x∈[{1，2}]$，
設(shè)$g（x）=\frac{1}{2}（{x-lnx}），h（x）=\frac{5}{2x}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}-\frac{1}{2}，x∈[{1，2}]$，
f（x）-f′（x）=g（x）+h（x）則g′（x）=$\frac{x-1}{2x}$≥0，
∴$g（x）≥g（1）=\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
又${h^/}（x）=\frac{{-5{x^2}-4x+12}}{{2{x^4}}}$，設(shè)ϕ（x）=-5x²-4x+12，則ϕ（x）在x∈[1，2]單調(diào)遞減，
∴?x₀∈[1，2]使得x∈（1，x₀）時(shí)ϕ（x）＞0，x∈（x₀，2）時(shí)ϕ（x）＜0，
∴h（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞增，在（x₀，2）上單調(diào)遞減，
∵$h（1）=1，h（2）=\frac{3}{4}∴h（x）≥h（2）=\frac{3}{4}當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得等號(hào)$，
∴$f（x）-{f^/}（x）＞g（1）+h（2）=\frac{5}{4}$，
即$f（x）＞{f^/}（x）+\frac{5}{4}$對(duì)于任意的x∈[1，2]成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．