Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，g（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）若函數(shù)f（x）=e^x-ax（a＞0）有且只有一個零點，求實數(shù)a的值；
（2）?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x₀）+g（x₀）-e^x₀≥0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最小值是0，求出a的值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為?x₀∈（0，+∞），使不等式lnx₀-a${{x}_{0}}^{2}$≥0成立，令h（x）=lnx-ax²，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ax，f′（x）=e^x-a，
令f′（x）＞0，解得：x＞lna，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（lna）=a-alna=0，
解得：a=e；
（2））?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x₀）+g（x₀）-e^x₀≥0成立，
即?x₀∈（0，+∞），使不等式lnx₀-a${{x}_{0}}^{2}$≥0成立，
令h（x）=lnx-ax²，（x＞0），h′（x）=$\frac{1-2{ax}^{2}}{x}$，
a≤0時，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）遞增，
故存在x′，使得h（x）＜0在（0，x′）成立，h（x）＞0在（x′，+∞）成立，
a＞0時，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，令h′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
∴h（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）遞增，在（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）遞減，
∴h（x）_max=h（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）=$\frac{1}{2}$（ln$\frac{1}{2a}$-1）≥0，
解得：0＜a≤$\frac{1}{2e}$，
綜上：a≤$\frac{1}{2e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．