Question

18．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax²-3，且f'（1）=-1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）-mx≤-3，求m的最小值；
（3）證明：函數(shù)y=f（x）-xe^x+x²的圖象在直線y=-2x-3的下方．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的值，求出a即可．
（2）問題轉(zhuǎn)化為m＞lnx-x，令g（x）=lnx-x，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可；
（3）函數(shù)y=f（x）-xe^x+x²的圖象在直線y=-x-1的下方等價于即要證lnx-e^x+1＜0，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的極值求解函數(shù)的最值，然后判斷結(jié)果即可．

解答 （1）解：對f（x）求導(dǎo)，得f'（x）=1+lnx+2ax，
∴f'（1）=1+2a=-1，得a=-1，
∴f（x）=xlnx-x²-3；
（2）解：任意x∈（0，+∞），都有f（x）-mx≤-3，
即任意x∈（0，+∞），都有m＞lnx-x，
令g（x）=lnx-x，（x＞0），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴g（x）≤g（1）=-1，
∴m＞-1；
（3）證明：“函數(shù)y=f（x）-xe^x+x²的圖象在直線y=-2x-3的下方”
等價于即要證lnx-e^x+2＜0，
所以只要證h（x）=lnx-e^x+2的最大值小于0，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x，
x趨于0時，h'（x）＞0，存在一個極值x₀∈（0，1）使得${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
故h（x）在（0，x₀）遞增，在（x₀，+∞）遞減，
故h（x）＜h（x₀）＜0，
故函數(shù)y=f（x）-xe^x+x²的圖象在直線y=-2x-3的下方．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，構(gòu)造法的應(yīng)用．